M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

2 2 . 5 1

Q uantum T heory

o f

R a dia tion I nteractions

F al l 2 0 1 2

P r o f . P a o l a Ca p p e l l a r o

Co n t e n t s

7 M i x e d s t at e s 5 1

7 . 1 M i x e d S t a t e s 5 1

7 . 2 D y n a mi c s o f m i x e d s t a t e s a n d o p e r a t o r s 5 2

7 . 2 . 1 H e i s e n b e r g p i c t u r e 5 3

7 . 2 . 2 I n t e r a c t i o n p i c t u r e 5 3

7 . 3 P a r t i a l T r a c e 5 4

7 . 3 . 1 E x a m p l e s 5 5

7 . 4 E n t a n g l e me n t m e a s u r e me n t 5 5

7 . 5 M i x e d S t a t e s a n d i n t e r p r e t a t i o n o f t h e d e n s i t y ma t r i x 5 6

7 . 5 . 1 C l a s s i c a l M a c r o - s t a t e s 5 7

7 . 5 . 2 Q u a n t u m M a c r o - s t a t e s 5 8

7 . 5 . 3 E x a m p l e : S p i n - 1 -

. 6 0

8 O p e n Q u an t u m S y s t e m s 6 1

8 . 1 C o m b i n e d e v o l u t i o n o f s y s t e m a n d b a t h 6 1

8 . 2 S u p e r o p e r a t o r s 6 3

8 . 3 T h e K r a u s R e p r e s e n t a t i o n T h e o r e m 6 5

8 . 3 . 1 A m p l i t u d e - d a mp i n g 6 5

8 . 3 . 2 P h a s e - d a m p i n g 6 6

8 . 3 . 3 D e p o l a r i z i n g p r o c e s s 6 7

8 . 4 T h e M a s t e r E q u a t i o n 6 9

8 . 4 . 1 M a r k o v a p p ro x i ma t i o n 6 9

8 . 4 . 2 Li n d b l a d e q u a t i o n 6 9

8 . 4 . 3 R e d fi e l d - B o rn t h e o r y o f r e l a x a t i o n 7 2

8 . 5 O t h e r d e s c r i p t i o n o f o p e n q u a n t u m s y s t e m d y n a m i c s 7 4

8 . 5 . 1 S t o c h a s t i c Li o u v i l l e e q u a t i o n a n d c u m u l a n t s 7 4

8 . 5 . 2 S t o c h a s t i c W a v e f u n c t i o n s 7 6

9 H ar m o n i c O s c i l l at o r 7 9

9 . 1 H a r mo n i c O s c i l l a t o r 7 9

9 . 1 . 1 C l a s s i c a l h a r mo n i c o s c i l l a t o r a n d h . o . m o d e l 7 9

9 . 1 . 2 O s c i l l a t o r H a mi l t o n i a n : P o s i t i o n a n d m o m e n t u m o p e r a t o r s 8 0

9 . 1 . 3 P o s i t i o n re p r e s e n t a t i o n 8 1

9 . 1 . 4 H e i s e n b e r g p i c t u r e 8 3

9 . 1 . 5 S c h r ¨ o d i n g e r p i c t u r e 8 3

9 . 2 U n c e r t a i n t y r e l a t i o n s h i p s 8 3

9 . 3 C o h e r e n t S t a t e s 8 4

9 . 3 . 1 E x p a n s i o n i n t e r ms o f n u m b e r s t a t e s 8 5

9 . 3 . 2 N o n - O rt h o g o n a l i t y 8 6

9 . 3 . 3 U n c e r t a i n t y r e l a t i o n s h i p s 8 6

9 . 3 . 4 X - r e p r e s e n t a t i o n 8 7

9 . 4 P h o n o n s 8 8

9 . 4 . 1 H a r mo n i c o s c i l l a t o r m o d e l f o r a c r y s t a l 8 8

9 . 4 . 2 P h o n o n s a s n o r ma l mo d e s o f t h e l a t t i c e v i b r a t i o n 8 9

9 . 4 . 3 T h e r ma l e n e r g y d e n s i t y a n d S p e c i fi c H e a t 9 0

1 0 T h e e l e c t r o m ag n e t i c fi e l d 9 3

1 0 . 1 C l a s s i c a l t h e o r y o f t h e e . m. fi e l d 9 3

1 0 . 2 Q u a n t i z a t i o n o f t h e e . m. fi e l d 9 5

1 0 . 2 . 1 Z e r o - P o i n t E n e r g y a n d t h e C a s i mi r F o r c e 9 6

1 0 . 3 Q u a n t i z a t i o n o f t h e e . m. fi e l d i n t h e C o u l o m b g a u g e 9 9

1 0 . 4 S t a t e s o f t h e e . m. fi e l d 9 9

1 0 . 4 . 1 P h o t o n n u m b e r e i g e n s t a t e s 9 9

1 0 . 4 . 2 C o h e r e n t s t a t e s 1 0 0

1 0 . 4 . 3 M e a s u r e m e n t S t a t i s t i c s 1 0 1

1 0 . 5 A t o mi c i n t e r a c t i o n s w i t h t h e q u a n t i z e d fi e l d 1 0 2

1 1 P e r t u r b at i o n T h e o r y 1 0 7

1 1 . 1 T i me - i n d e p e n d e n t p e r t u r b a t i o n t h e o r y 1 0 7

1 1 . 1 . 1 N o n - d e g e n e r a t e c a s e 1 0 7

1 1 . 1 . 2 D e g e n e ra t e c a s e 1 1 1

1 1 . 1 . 3 T h e S t a r k e ff e c t 1 1 5

1 1 . 2 T i me - d e p e n d e n t p e r t u r b a t i o n t h e o r y 1 1 9

1 1 . 2 . 1 R e v i e w o f i n t e r a c t i o n p i c t u r e 1 1 9

1 1 . 2 . 2 D y s o n s e r i e s 1 1 9

1 1 . 2 . 3 F e r mi ’ s G o l d e n R u l e 1 2 0

1 2 I n t e r ac t i o n o f R ad i at i o n w i t h M at t e r 1 2 3

1 2 . 1 S c a t t e ri n g T h e o r y 1 2 3

1 2 . 1 . 1 C r o s s S e c t i o n 1 2 5

1 2 . 1 . 2 T h e r ma l N e u t r o n S c a t t e r i n g 1 2 7

1 2 . 2 E mi s s i o n a n d A b s o r p t i o n 1 3 3

1 2 . 2 . 1 E m i s s i o n 1 3 3

1 2 . 2 . 2 A b s o r p t i o n 1 3 5

1 2 . 2 . 3 B l a c k b o d y R a d i a t i o n 1 3 5

1 2 . 3 W i g n e r - W e i s s k o p f T h e o ry 1 3 6

1 2 . 3 . 1 I n t e r a c t i o n o f a n a t o m w i t h a s i n g l e m o d e e . m. fi e l d 1 3 6

1 2 . 3 . 2 I n t e r a c t i o n w i t h ma n y m o d e s o f t h e e . m. fi e l d 1 3 7

1 2 . 4 S c a t t e ri n g o f p h o t o n s b y a t o ms 1 3 9

1 2 . 4 . 1 T h o m s o n S c a t t e r i n g b y F r e e E l e c t r o n s 1 4 2

1 2 . 4 . 2 R a y l e i g h S c a t t e r i n g o f X - r a y s 1 4 5

1 2 . 4 . 3 V i s i b l e Li g h t S c a t t e r i n g 1 4 6

1 2 . 4 . 4 P h o t o e l e c t r i c E ff e c t 1 4 7

1 . I n tr o d u cti o n to th e co u r s e

1 . 1 W h y s t u d y Q u an t u m M e c h an i c s ?

1 . 2 S t r i k i n g C h ar ac t e r i s t i c s o f Q M

1 . 1 W h y s t u d y Q u a n t u m M e c h a n i c s ?

Q u a n t u m m e c h a n ic s ( Q M ) is a f u n d a m e n t a l a n d g e n e r a l t h e o r y t h a t a p p lie s o n a v e r y w id e r a n g e o f s c a le , f r o m s u b a t o m ic s y s t e m s t o a s t r o p h y s ic a l o b j e c t s .

It is n o w a d a y s a ls o a w id e ly a p p lie d s u b j e c t , w it h r e a l- lif e a p p lic a t io n s ( f r o m t r a n s is t o r s t o la s e r s ) a n d a n a c t iv e a r e a o f r e s e a r c h . F o r e x a m p le , it is a t t h e b a s is o f r e s e a r c h in n a n o t e c h n o lo g y , in m a t e r ia ls s c ie n c e , in s p in t r o n ic s ( w h e r e t h e e le c t r o n s p in r e p la c e s t h e c h a r g e a s t h e f u n d a m e n t a l u n it f o r s t o r in g in f o r m a t io n in a c o m p u t e r ) , e t c .

A ls o , t h e r e h a s b e e n a r e s u r g e n t in t e r e s t in t h e f u n d a m e n t a l t h e o r y o f Q M , d u e t o t h e in t e r e s t in q u a n t u m in f o r m a t io n a s w e ll a s t h e a v a ila b ilit y o f c o n t r o l o n s in g le q u a n t u m s y s t e m s 1 . A lt h o u g h y o u m ig h t n o t b e d ir e c t ly in t e r e s t e d in q u a n t u m in f o r m a t io n p e r s e , t h is d is c ip lin e h a s s h a p e d a n e w v ie w o f Q M t h a t is h a v in g im p a c t a ls o o n p r a c t ic a l a p p lic a t io n s . O n t h e p e d a g o g ic a l s id e , it h a s p u s h e d f o r a n e w w a y o f p r e s e n t in g Q M in c o lle g e c o u r s e s , t h a t I w ill t r y t o p a r t ia lly f o llo w h e r e , w it h m o r e e m p h a s is o n d is c r e t e s y s t e m s a n d a p p lic a t io n s in s t e a d o f a n h is t o r ic a l p r e s e n t a t io n o f Q M t h e o r y . ( Y o u p r o b a b ly a lr e a d y h a v e h a d t h a t k in d o f h is t o r ic a l in t r o d u c t io n , b o t h in u n d e r g r a d a n d in 2 2 .1 0 1 ) .

1 . 2 S t r i k i n g Ch a r a c t e r i s t i c s o f Q M

Q M is k n o w n f o r b e in g w e i r d , c o u n t e r in t u it iv e a n d d iffi c u lt t o u n d e r s t a n d 2 . T h e v a s t m a j o r it y o f p h y s ic is t s d o n o t w o r r y a b o u t t h e p u z z lin g a s p e c t s o f q u a n t u m m e c h a n ic s , b u t s im p ly u s e it a s a t o o l w it h o u t a s k in g q u e s t io n s o f p r in c ip le . N e v e r t h e le s s , t h e t h e o r e t ic a l a n d , e s p e c ia lly , e x p e r im e n t a l p r o g r e s s m a d e o v e r t h e p a s t t w e n t y y e a r s h a v e le d t o a b e t t e r g r a s p o f c e r t a in a s p e c t s o f t h e b e h a v io r o f q u a n t u m o b j e c t s .

In t h is c la s s w e w ill e x p lo r e t h e s e c o u n t e r in t u it iv e p h e n o m e n a , in p a r t ic u la r w e w ill e m p h a s iz e t h r e e c h a r a c t e r is t ic s o f Q M :

– D i s c r e te n e s s

T h is is t h e c h a r a c t e r is t ic t h a t g a v e t h e d is c ip lin e it s n a m e o f q u a n t u m m e c h a n ic s 3 . W h ile c la s s ic a l p h y s ic s a n d t h e w o r d a r o u n d u s s e e m s t o b e c o n t in u o u s , in Q M s o m e q u a n t it ie s c a n o n ly t a k e a d is c r e t e s e t o f v a lu e s . E x a m p le s a r e t h e d is c r e t e e n e r g y le v e ls o f a t o m s o r t h e a m o u n t o f e n e r g y e m it t e d in b la c k b o d y r a d ia t io n ( t h e s e a r e h i s t o r i c a l e x a m p le s ) . In t h e fi r s t p a r t o f t h e c o u r s e w e w ill f o c u s o n d is c r e t e s y s t e m s , in p a r t ic u la r o n a s y s t e m t h a t c a n a s s u m e o n ly t w o s t a t e s .

1 T h i s i s e x e m p l i fi e d b y t h e w o rk o f t h e t w o P h y s i c s N o b e l l a u r e a t e s i n 2 0 1 2 , D a v e W i n e l a n d a n d S e r g e H a r o c h e .

2 F o r t h o s e w h o a r e n o t s h o c k e d w h e n t h e y fi r s t c o m e a c r o s s q u a n t u m t h e o r y c a n n o t p o s s i b l y h a v e u n d e r s t o o d i t . N i e l s B o h r , q u o t e d i n H e i s e n b e r g , W e r n e r ( 1 9 7 1 ) . P h y s i c s a n d B e y o n d . N e w Y o r k : H a r p e r a n d R o w . p p . 2 0 6 . I t h i n k I c a n s a f e l y s a y t h a t n o b o d y u n d e r s t a n d s q u a n t u m m e c h a n i c s . R i c h a r d F e y n ma n , i n T h e C h a r a c t e r o f P h y s i c a l La w ( 1 9 6 5 )

3 E t y mo l o g y : La t i n , n e u t e r o f q u a n t u s h o w m u c h . P l u r a l q u a n t a . 1 a : q u a n t i t y , a m o u n t . b : a c e r t a i n o r a n a l l o t t e d a mo u n t

: p o r t i o n ( f r o m M e r r i a m - W e b s t e r d i c t i o n a ry ) .

– In te r f e r e n c e

In t e r f e r e n c e a n d d iff r a c t io n a r e c h a r a c t e r is t ic s o f w a v e s , in p a r t ic u la r lig h t . In Q M it w a s f o u n d t h a t in t e r f e r e n c e a ls o a p p lie d t o m a t t e r a n d it is a c t u a lly a g e n e r a l p h e n o m e n o n . E .g . d iff r a c t io n o b s e r v e d w it h la r g e o b j e c t s s u c h a s f u llu r e n e s ( C 6 0 ) . W e w ill s e e h o w in t e r f e r e n c e is lin k e d t o t h e p o s s ib ilit y o f fi n d in g a s y s t e m in a s u p e r p o s it io n s t a t e a n d f u r t h e r e x p lo r e e v e n w e i r d e r p h e n o m e n a s u c h a s e n t a n g le m e n t .